集合是近代数学中的一个重要概念，集合思想已成为现代数学的理论基础，与高中数学的许多内容有着广泛的联系，中学数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素，用集合语言可以明了地表述数学概念，准确、简捷地进行数学推理。集合论的创始人是徳国数学家康托尔（G.Cantor，1845 - 1918）。他的集合思想的主要特征包括概括原则、外延原则、一一对应原则和实无穷思想。其概括原则用于造集，外延原则保证了集合的确定性，一一对应原则引出了基数概念，揭示了无穷集的本质特征。三个原则的采用，使数学中引入了实无穷思想。数学教师在教学中还可以运用集合思想建立数学概念系统，或在复习教学中帮助学生归纳、整理数学知识。对于数学学习来说，要帮助学生养成这样一种集合的思维习惯：善于把在某些方面有类似性质的对象（或满足某一条件的对象）放在一起视为一个集合，然后利用集合的有关概念或通过集合的有关计算来研究和解决问题。人教B版教材中更是注重了集合思想,下面谈谈教材在集合思想的突出应用：

 

    应用一：中学数学中常见的集合有（1）数集；（2）方程（或方程组的）解集；（3）不等式（或不等式组）的解集；（4）点集。

 

    只有深刻理解集合概念，明确集合中元素的属性，熟练地运用集合与集合的关系解决具体问题上下功夫,才能读懂用集合语言描述的数学命题，并顺利地用集合语言解答方程或不等式问题。

    例1：集合M={y∣y=x²-1,x∈R},N={x∣y=},则M∩N等于（     ）

    分析：集合M中的元素是y,它表示函数y=x²-1的值域，从而M={ y∣y≥-1}.集合N中的元素是x,它表示函数y=的定义域，从而N={ x∣ }.因此，M∩N={x∣}

    例2：设f(x)=x²+ax+b,a,b∈R,A={x∣f(x)=x}={a},求a,b.

    分析：A是方程f(x)=x的解集，A={a}表示方程有两个相等的实根a 。

    方程即为x²+(a-1)x+b=0，又a是方程的解，由韦达定理可求a=,b=

    更为重要的是，集合思想沟通了数和形的内在联系，使得由某个图形性质给出的点集和满足某性质P的实数对组成的集合建立起一一对应的关系，进而使中学数学能够用代数方法解答几何问题，能够对代数命题给出几何解释，还能够通过几何图形来解决代数问题。僻如新教材中球、椭圆、双曲线、抛物线等概念都是用集合定义的，形象又直观，便于学生理解。

    例3：集合A={(x,y)∣y=x + m},B={(x,y)∣y=},如果A∩B是单元素集，求m的取值范围。

    分析：集合A表示的是斜率为1的一组平行直线，集合B表示的方程变形为x²-y²=4(y≤0)，表示双曲线x²-y²=4在x轴下方的部分（包括两个交点），而A∩B是单元素集，则说明直线与半双曲线有一个公共点。如图：

    将双曲线的一条渐近线y=x分别向上、向下平移，可得m的取值范围是m≤-2或0<m≤2。

 

    集合的关系、集合的运算等都是从元素的角度予以定义的。因此，求解集合问题时，抓住元素的特征进行分析，就相当于牵牛抓住了牛鼻子。