人大附中分班考试班第二讲及分答案

第二讲 数论综合
【例1】有些四位数能够被3和5整除，但不是2的倍数，也不是25的倍数，那么这样的四位数中最大的一个是_ __．

【例2】是否存在一个各位数字互不相同的数，使得它是999999的倍数？如果存在，请构造，如果不存在，请说明理由。
答案：不存在。
因为各位数字互不相同，至多是10位数。根据999999的整除性，将该多位数从右往左六位断开后求和，这个和一定是999999。通过分析这个加法竖式，可知其无进位。所以一定会有两个数字9，出现重复。

【例3】有一个四位数是18的倍数，任意交换它两个数字的位置得到还是四位数且仍然是18的倍数，（例如4068就不满足题意，因为交换4和0之后就不再是四位数了．）则这样的四位数一共有多少个？
答案：一定是由2，4，6，8组成的，所以数字之和一定为18，考虑到18＝8＋6＋2＋2＝8＋4＋4＋2＝6＋6＋4＋2＝6＋4＋4＋4,可以形成12＋12＋12＋4＝40个满足要求的四位数。

二. 质数与合数
【例4】是否存在一个两位数，使得它与3、5、7、11的乘积的各位数字之和都是质数？
答案：存在。67；67×3＝201，67×5＝335，67×7＝469，67×11＝737。考虑它与3的乘积的数字和一定是3，从而这个数为34，37，67之一，经验算只有67满足要求。

【例5】能否将1～50分成25组，使得每组两个数之和为质数。要是可以，怎么分，要是不行，说明理由。
答案：可以：（1，2），（3，50），（4，49），（5，48），…，（26，27）

【例6】

三. 约数和倍数
【例7】

【例8】一个自然数的3次方恰好有100个约数，那么这个自然数本身最少有_____________个约数；
答案：16

【例9】驯兽员带着甲、乙、丙三只训练犬同时到300米长的圆形跑道的某点，让它们按同方向同时出发进行赛跑。已知甲、乙、丙的速度分别为225米/分，441米/分，625米/分，且同时出发，那么最早在多少分钟后三只犬再一次跑到了一起？
答案：37.5分钟。

【例10】求出六对自然数，使得每对中两数的约数个数之和是这两个数的最小公倍数。
答案：（1，3），（1，4），（2，6），（3，6），（8，8），（12，12）。不妨设这两数为 ，则最小公倍数至少为a，如果a不是b的倍数，则最小公倍数最小为2a，这样a，b的约数个数和肯定不超过a＋b不到2a，所以a一定是b的倍数,并且a 的约数个数应该不少于a的一半。聪明的读者能否根据以上提示证明这个问题只有以上的6个解呢？

四. 余数问题
1能否是一个平方数？能则举例，否则证明。3n【例11】已知m、n均为正整数，那么3m
答案：否。考虑被8除的余数。

【例12】有多少个这样的两位数，它除以它的各位数字之和之后得到的余数是9。
答案：5个，它们是19，57，69，97，99。
设这个两位数是ab，那么ab－9是a＋b的倍数，且a＋b>9，所以ab－9＝10a＋b－9＝a＋b＋9×（a－1）是a＋b的倍数，如果a＋ b与3互质，那么a＝1，b＝9；如果a＋b与3不互质，那么a＋b＝12，15或者18，当a＋b＝12时，a－1是4的倍数，当a＋b＝15时，a－ 1是5的倍数，当a＋b＝18时，a、b都只能是9。

2000，那么这个自然数除以99余几？，若最终写到2000，成为123【例13】将自然数连续写下去1，2，3，4，
答案：93；
先求除以9的余数；再求除以11的余数；所以原数除以99余93．

五. 进位制问题
【例14】一个自然数在四进制表示当中的各位数字之和是5，在五进制表示当中的各位数字之和是4，那么这个自然数除以3的余数是______ ，满足要求的最小自然数是_________(十进制表示)

【例15】现有1克，3克，9克，27克，81克的砝码各1枚
（1）如果砝码只能放在天平一端，物品放在另外一端，可以称出多少种不同的重量？
（2）如果砝码可以放在天平的两端，可以称出多少种不同的重量？